碳化硅单晶生长,尺寸要求会不断的提升,从四英寸到六英寸,再到之后的八英寸。这个增大的过程,叫做化工过程放大。

化工的核心理论是“三传一反”:

  1. 动量传递(流体输送、过滤、沉降、固体流态化等,遵循流体动力学基本规律);
  2. 热量传递(加热、冷却、蒸发、冷凝等,遵循热量传递基本规律);
  3. 质量传递(蒸馏、吸收、萃取、干燥等,遵循质量传递基本规律);
  4. “一反”为化学反应过程。

放大不仅仅是简单的用更大的炉子,“三传一反”都会使得放大产生放大效应。

烧碳化硅就像烤火鸡

举个简单的例子,有两本烤火鸡的食谱:

  1. 一本食谱:烤制时间t与火鸡质量m成正比,即烤火鸡的时间是每斤肉20分钟——火鸡的质量翻倍,烤制时间翻倍。
  2. 另一本食谱:烤制时间t与火鸡质量m的0.6次方成正比——火鸡的质量翻倍,烤制时间翻1.5倍。

哪一本食谱的结论更好呢?

假设烤鸡的温度变化一致,就可以烤出一样的效果。

  1. 如果不提高烤箱温度,那么烤箱能够提供的热Q正比于烤的时间t;
  2. 但是烤鸡变大了,受热面积增大,相同的热量能提高的温度减小,所以要延长烘烤时间;
  3. 如果将烤鸡看成密度一致的正方体,因为质量翻了两倍,密度不变,所以体积翻了两倍,长度差不多变为1.26倍,受热面积大概只变大了1.58倍。

按照上面的关系,烤制时间应该扩大1.58倍。而1.58倍更接近第二本食谱的1.5倍,所以第二本食谱更符合传热学的观点一些。

烤火鸡的例子,说明了自然界的过程,大多都有一定程度的非线性。用我们熟知的话说,就是“量变引起质变”。当量在一个很小的范围发生变化时,看不到现象上剧烈的变化。但是当量变足够大时,我们看到的是现象的根本不同。

化工过程比这个烹饪的过程的非线性更强,热量、质量、动量以及他们之间还相互依赖。工艺放大,从实验室瓶瓶罐罐的级别的小试到中试,再到工业级别实验,通常是10倍~1000倍地逐级放大,这种量变所产生的的质变是剧烈的。所以往往会看到不一样的特征,比如反应变得很慢,混合变得十分困难等等意想不到的现象,而这些现象可能会阻碍生产、降低效率等,这些现象称为放大效应。

通过相似来简单放大

化工过程怎么去放大比较好呢?工业化初期,人们觉得保证一些关键变量的比例不变来放大是准则,称为相似准则

  1. 几何相似:尺寸可以不同,而一切对应的设备的线性尺寸成比例,这里的线性尺寸可以是直径、长度及粗糙度等。比如要放大一个搅拌的反应过程,人们觉得要保证反应器的高度和宽度维持一定比例、搅拌桨的倾角这些跟几何相关的参数不变。
  2. 运动相似:在流场中的所有对应点处对应的速度和加速度的方向一致,且比值相等。比如搅拌反应釜时,流场中的流速分布是相似的。
  3. 动力相似:作用在流体上相应位置处的各种力,如重力、压力、粘性力和弹性力等,它们的方向对应相同,且大小的比值相等。
  4. 时间相似:控制时间点相同,比如研究药品过期的时间可能需要几年,但在高温下过期时间就很短。

从简单相似到准数相似

但是,单一的相似往往忽略很多关键参数。取而代之的是一组无因次准数相似,也就是白金汉定理。

为什么准数相似比单一的相似准则好呢?

让我们来看小学时就学过的例子:

式1和式3单位不一样,但是数字却一样,两个系统似乎有一种相似关系,但因为单位不同,所以本质不一样。式1和式2,本质上是一样的,但仅仅因为单位(也称量纲、因次)不同,却得到了完全不同的形式。

但是自然界中本没有单位,真正的物理本质,是不依赖于单位而存在的。这侧面告诉我们一个重要的信息,这种带有单位的量不能很好地反映物理本质,因为有单位的“干扰”,掩盖了物理实质。那什么样的量最能反映系统的物理本质呢?没有单位的量,即无因次的数。

如果无因次的数才能反映物理本质,那么如何用无因次数表示这种相似关系呢?假设我们有两个流体流动系统,这两个流体流动系统相似:

现在假设系统 1 和系统 2 存比例关系,比例系数是:

联立比例系数和系统2,系统2可以写成下式:

如果系统2和系统1相同,那么系数应该相等,可以约去:

可以得到四组准数:

1.雷诺数,表示粘性力作用相似:

2.斯特劳哈尔数,表示时间变化相似:

3.弗劳德数,表示重力作用相似:

4.欧拉数,表示压力作用相似:

所以只要这两个系统的四个准数同时相等,在流动的现象上就是相似的,即可以得到同样的流场分布。

利用准数相似,这使得我们可以在小规模的装置上实验,而得到工业级系统上的参考数据。所以可以先在实验室规模进行优化,然后利用无因次准数相等,就可以用于规模更大的系统。当然现实中是逐步逐步的放大,而不是一步到位。化工的书中,前人做了大量的研究,总结了大量的关联式、关联图,涵盖了单元操作、流体力学、传热学、传递过程、反应工程,甚至可以见于化工技术经济。

如果我们用更一般的观点来看,相似准则实际上是方程的对称性,也就是方程的不变。对方程进行变换,如果这个变换作用后,方程依然保持不变,就称这个变换作用是对称的。所谓放大,也就是一些参数成比例,就是拉伸变换。如果系统经过拉伸变换对称,那么他们就是相似的,而这个变换就是我们要寻找的放大或者缩小的方法。化工里的放大、缩小,对应的就是数学里的李群中的拉伸群。准数组相等,实际上就确定了一组拉伸变换关系。因为拉伸变换后,系统不变,所以拉伸群是一种对称群。

再往深了说,白金汉定理实质上反映了,自然界的系统普遍存在的对称性;而这种对称性,就蕴藏在量纲的基本性质,幂次性和齐次性中。

  1. 所有的量纲都是指数形式的(幂次性),量纲的幂次性是拉伸关系的一种体现,体现的就是自然界的尺度变化,就像苹果有大有小;
  2. 量纲的齐次性是事物不变性(对称性)的一种体现,苹果不会变成梨,所以苹果不能和梨相加。

运用白金汉定理的量纲分析,甚至不需要方程就可以相似

上文的例子,可以清楚看到:如果给定系统的控制方程,就可以找到一组无因次准数,保证系统相似。那么是不是必须先知道控制方程,才能知道相应的准数组呢?答案是否定的。

上文中,反复提到白金汉π定理,而根据白金汉π定理,只需要知道相关变量及其单位就可以找到这组无因次准数,不需要知道控制方程。白金汉π定理说,如果系统有n个变量,这n个变量包含j个基本单位,则可以找到n-j个无因次量C,而且无因次量之间会存在函数关系。

这个函数关系f可以通过实验数据,统计回归得到。在现实中运用时,由于变量选择的冗余,实际找到的无因次量数目可能会大于n-j。

举个经典例子,高中就学过的单摆。设单摆周期是t,小球质量是m,摆线长度是l,重力加速度是g(量纲分析中,重力加速度常常作为一个变量来看,而不是常数来看)。上述四个量涉及3个基本单位,质量g、时间s、长度m。

按照白金汉定理,这里涉及4个量,3个基本单位,所以可以找到1个无因次量:

高中物理里面单摆的周期公式是:

质量也确实跟单摆的周期没有关系,这跟高中所学一致。

量纲分析的神奇之处,就在于我们仅仅根据系统的变量和其单位,就可以分析得出系统的无因次量。

利用量纲法,还可以求解细杆的转动惯量、水波的性质、圆棒弯曲时的应力分布,乃至利用开普勒第三定律推断万有引力的性质。这些还都是小儿科,展示量纲法威力有个最著名的例子:泰勒推断了第一颗原子弹的爆炸威力。

原子弹爆炸时,瞬间释放了大量的能量E,从而加热了周围的气体,使之膨胀、形成了冲击波(也就是巨大火球的边界)。涉及到的参数有火球半径r、时间t(爆炸时刻为时间零点)、空气的密度ρ,还有气体的定压比热和定容比热(实际上只依赖于这两者的比值γ)。做些排列组合,可以发现E→mv2→(ρV)(r/t)2→ρr5/t2,E=f(γ)ρr5/t2。美国军方于1947年公布了原子弹爆炸后火球随时间扩散的一系列照片,泰勒就利用这个公式,立刻推算出了原子弹的爆炸当量——这是完全没有公布的核心军事机密!

简直与《股市告诉我们》(The Stock Market Speaks)一样牛逼。

值得注意的事情是,用白金汉定理做量纲分析时有很大的主观性。

第一个主观性是,变量选择的主观性。同一个系统,可能可以找到多组相关变量。这时需要根据工程师的经验和化工的知识,去选择最相关的变量,最精简的组合。

第二个主观性是,准数选择的主观性。同一个系统,可能找到几组不同的准数。为了避免这种问题,凑准数时,优先选择前人已经定义的准数,其次才是自己定义的准数。根据问题的不同,化工里涉及的前人定义的准数,可以在传热学、流体力学、传递过程等书的附录里找到。在找不到需要的准数时,才选择自己凑无因次数。

这两个步骤是量纲分析的核心。

如何将白金汉定理用于化工过程放大呢?

  1. 通过试验设计(DOE),在小系统中摸索最佳操作条件;
  2. 对于系统用白金汉定理进行量纲分析,找到系统的相似准数组,由此还可以计算相关的各种系数;
  3. 根据准数相似,基于小系统的最佳操作条件,去求解放大后系统的相应操作条件,并行实验;
  4. 如果实验效果不如预期,比如传质效果不如小系统,需要分析引起系统变化的原因。

通常情况下,原因是所选变量不能反映系统放大过程中的变化,比如重要的变量漏选,以至于不能反映系统的放大过程。

改变变量的选择和准数的选择,重复步骤 2 和 3。

总结


化工过程放大通常有三种方法:

1.经验模型:纯粹根据经验,通过相似来进行放大,不科学,除非你对某一种工艺非常熟悉;

2.半理论-半经验模型/灰箱模型:通过准数相似进行放大,在化工里最为实用,是大多数英文的化工的文献资料上推崇的,但依然有一定的局限性;

3.理论模型:有机理模型下的准数相似,最科学,但需要的知识、技能最多,也最为复杂,不容易掌握。常见的就是理论计算相应的温度场、流体场等。

参考文献

化工过程放大,从烹饪说起

https://daily.zhihu.com/story/9727200

力学教学笔记之量纲分析

http://blog.sciencenet.cn/blog-1319915-1019144.html

来源:Rad聊碳化硅


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